甘廷寿，字君况，北地郡郁郅县（今甘肃庆阳县）人。少年时，甘廷寿以良家子弟身份，以及善于骑射进入羽林军，甘延寿投掷石头，跳远超过常人，曾经跳越过羽林驻地的一座楼亭，因为有特殊技能，甘廷寿升任为郎官。因为徒手搏斗的技艺高超，又擢升为期门官，因为有着不同于常人的技能，甘廷寿受到重用。后来升任为辽东郡太守，此后又被免官。车骑将军许嘉举荐甘延寿为郎中谏议大夫，出任西域都护兼任骑都尉，与副校尉陈汤一起诛杀匈奴郅支单于，返回后甘廷寿受封为义成候。去世以后，谥号为壮候。爵位封邑传至曾孙甘相，王莽篡汉败亡后，封爵被撤销。

陈汤，字子公，山阳郡瑕丘县（今山东兖州市东北）人。少年时，陈汤喜欢读书，知识渊博，善于写文章。由于家贫，陈汤倚靠乞求借贷为生，为人没有节操，被州里人看不起。后来陈汤西入函谷关，到长安谋求官职，得到一个太官献食丞的职务。几年后，富平侯张勃与陈汤关系很好，欣赏陈汤的才能。元帝初元二年（公元前47年），元帝诏令列侯举荐茂材，张勃举荐了陈汤。陈汤在等待职务安排时，父亲恰好去世，陈汤没有回去奔丧，司隶校尉弹劾陈汤的行为不符合礼制，张勃因为举荐陈汤而受到牵连，被削去食邑二百户，在此期间张勃去世，朝廷赐张勃谥号为缪候。陈汤被逮捕入狱，等候处理。后来又被举荐，担任郎官，多次请求出使外国。过了不久，陈汤受命担任西域副校尉，与甘延寿同时上任。

在此前宣帝朝，匈奴内乱，五位单于争夺王位，呼韩邪单于和郅支单于先后将儿子送往朝廷，侍奉皇帝，两个匈奴王子，朝廷全部接受。后来呼韩邪单于亲自来到长安，称臣朝见皇帝，郅支单于认为呼韩邪单于势单力薄，投降汉朝，就再也回不来了，随即向西占据了西部地区。可是汉朝又派出汉军，将呼韩邪单于送回匈奴，郅支单于只得再向西逃亡，途中打败了呼偈、坚昆、丁令，兼并了三国的土地。还抱怨汉朝帮助并保护呼韩邪单于，不帮助自己，遂将汉朝派往匈奴的使者江乃始羁押，羞辱。元帝初元四年（公元前45年），郅支单于派出使者向汉朝贡献，请求送回王子，声称愿意内附汉朝。朝廷讨论后，派出卫司马谷吉护送匈奴王子返回。御史大夫贡禹、博士匡衡均认为，《春秋》大义中讲：“对夷狄的要求，不能全部满足。”现在郅支单于还没有真心归附汉朝，其居住地距离京师又如此遥远，将匈奴王子送至边塞，即可以返回。谷吉上书，说：“中国与夷狄是羁縻关系，靠着感情联络，不能断绝，现在将单于的王子养了十年，已经结下深厚情谊，此次送回去，仅送至边塞，即返回，如同丢掉一个包袱，无情无义，也使得王子心怀怨恨，将此前抚养的恩情全部忘却，抛弃前恩，留下后怨，这样做，不符合汉朝怀柔远方的目的。讨论的大臣们，看到此前江乃始没有应敌的策略，智穷力竭，以至于最终受辱，为我担忧，怕我也会遭受同样的厄运。臣持有强汉的苻节，接受皇帝的诏命，向匈奴宣谕皇帝的厚恩，不会有什么危险。假若匈奴单于胆敢以禽兽行为，将无道强加于臣的身上，那么匈奴单于就是犯下了逆天大罪，也一定会逃遁至远方，不敢再到汉朝的边郡来。失去一位使者，却为我汉朝赢得边郡安定，百姓安宁，为了国家利益，臣愿意将匈奴王子送回去。一直送到匈奴王庭。”皇上把谷吉的奏章，交予朝中的大臣们讨论，贡禹还要争辩，认为谷吉前去，一旦受辱，将会为国家召来祸患，不能允许。右将军冯奉世认为可以去，元帝最终同意派谷吉前往。到了匈奴王庭，郅支单于果然翻脸，杀害了谷吉等人。郅支单于也知道，此次彻底得罪了汉廷，又听说呼韩邪单于在汉廷的帮助下，越来越强盛，遂继续向西，逃亡到了康居国。康居王将自己的女儿嫁予郅支单于，郅支单于也将女儿嫁予康居王。康居国人很尊敬郅支单于，想倚赖匈奴的力量，威慑西域其它国家。郅支单于因此多次借兵，进攻乌孙国，一直深入进赤谷城。杀害当地百姓，驱赶牲畜，乌孙国人不敢追赶，西域西部遂逐渐变得空虚，地域千里无人居住。郅支单于自以为是大国，威武尊贵，加上胜利，产生骄横心理，不再对康居王以礼相待，一次发脾气，竟然杀了康居王的女儿和贵族，还有几百个百姓，单于将被杀的人肢解后，投入进都赖河中。郅支征发当地百姓筑城，每天五百人，二年后才将王城完成。郅支单于又派遣使者，责令阖苏、大宛等西域国家贡献缴纳财物，这些国家不敢不缴。汉朝派出三批使者，到康居国，要求归还谷吉等人的尸体，郅支单于扣押、羞辱汉朝派来的使者，不肯奉诏交还，还通过西域都护上书，说：“我现在生活困难，愿意归附强汉，把儿子送去，侍奉朝廷。”竟然如此骄横傲慢。

汉元帝建昭三年（公元前36年），陈汤与甘延寿前往西域赴任。陈汤为人沉着、勇敢、有谋略，多谋善断，渴求建立奇功，每当经过一个城邑山川，都要登高远望。既然此次受命统辖西域诸国，陈汤与甘延寿商议，陈汤说：“夷狄害怕强大民族，这是天性使然。西域原来是匈奴的势力范围，现在郅支单于又威名远扬，侵犯乌孙、大宛，还常为康居国谋划，妄图降服这两个国家。如果匈奴夺取了这两个国家，再向北进攻伊列，向西夺取安息，向南排挤月氏、山离乌弋，数年之间，西域的城邦国家即会陷入危险之中。而且郅支单于为人剽悍，喜欢杀伐征战，多次取胜，长此以往，一定会成为西域的大患。郅支单于居住遥远，但蛮夷没有城墙堡垒，没有强弓硬弩守卫，如果征调屯田的军队，再加上乌孙国军队，直指匈奴城下，单于将会无路可逃，困守也将难以自保，这是千载难逢的立功机会，我们今朝即可以一举获得。”甘延寿听了，认为陈汤讲得有道理，就要向朝廷呈上奏章，陈汤说：“朝廷一旦将奏章交予那些公卿大臣们讨论，这样的决策，庸官们不可能看出它的长远影响，一定不会答应。”甘延寿一时犹豫不决。恰好有病，将此事搁置下来，陈汤于是假传诏令，征调西域诸国军队，还有车师戊己校尉掌握的汉军屯田官兵。甘延寿听到消息后，从病床上惊起，可是一切均已经成为事实，甘延寿想制止事态的继续发展，陈汤大怒，手按宝剑呵斥道：“大军已经集合，你小子胆敢阻止行动！”甘延寿只好作罢，随即二人指挥军队前进，将军队编为扬威、白虎、合骑三部分，汉兵与胡兵加在一起，共四万余人，甘延寿、陈汤上奏朝廷，解释假托诏命的原因，自请处分，并且汇报了军队现在的情况。

当天两人指挥军队分路前进，军队分为六部分，其中三部分从南道翻越葱岭，经过大宛国，另外三部分，则由都护亲自率领，从温宿国出发，沿着北道穿越赤谷，经过乌孙国，再沿着康居国的边界，到达阗池的西边。康居副王抱阗率领数千骑兵，在赤谷城东边抢掠，掳掠走乌孙国大昆弥的一千余人，还赶走了大批牲畜。与西域出征的后续部队遭遇，因抢劫的东西太多，无法走脱。陈汤指挥胡兵进攻康居国的叛军，杀了四百六十余人，夺回抢劫的财物和劫掠的乌孙国百姓四百七十余人，交还给乌孙国大昆弥，缴获的马牛羊，补充为出征大军的军粮。又抓获抱阗手下的贵族伊奴毒。

进入康居国东部边界，西域都护甘延寿命令大军不得劫掠。秘密召见康居贵族屠墨，向屠墨晓谕汉军的威武、恩信，与屠墨一起饮酒，定立盟约，然后放屠墨回去。甘延寿、陈汤率领大军继续前进，在距离郅支单于城六十余里的地方，扎下营寨。又捕获康居贵族贝色的儿子，命令他作为向导，贝色的儿子即是屠墨母亲的弟弟，他们均憎恨郅支单于，从他们那里，了解到郅支单于的很多情况。

第二天，由他带路，距离郅支单于城三十余里，大军停下来扎营。郅支单于派人前来询问：“汉军从何处来？”回答是：“单于此前上书，说生活困难，愿意归附强汉，要亲自到长安来谒见皇上。天子怜悯单于，舍弃匈奴大国地位，屈尊来到康居国，汉廷特意派出都护将军迎接单于和妻子、儿女，担心惊动左右，因此还没有抵达城下。”单于派出的人往返几次，询问汉军此行的目的。甘延寿、陈汤不耐烦的指斥来人：“我们为单于远道而来，到现在还没有看到一位名王贵族出来相见，单于竟然如此疏忽，不懂得欢迎客人的礼节！军队远道而来，人困马乏，粮食差不多也快用完了，很是担心，不能就这样回去，希望单于能与大臣们商量解决。”

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